如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥面ABCD.
AD=1, ,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求直线AB与平面PDC所成角;
(3)设点E在棱PC上, ,若DE∥面PAB,求λ的值.
解:(1)∵∠DAB=90°,AD=1,AB= ,
∴BD=2,∠ABD=30°,
∵BC∥AD
∴∠DBC=60°,BC=4,
由余弦定理得DC=2 ,
BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,
∵PD⊥面ABCD,∴BD⊥PD,PD∩CD=D,∴BD⊥面PDC,
∵PC在面PDC内,∴BD⊥PC
(2)在底面ABCD内过D作直线DF∥AB,交BC于F,分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系,
由(1)知BD⊥面PDC,∴ 就是面PDC的法向量,
A(1,0,0),B(1,,0),P(0,0,a)
=(0,
,0),
=(1,
,0),
设AB与面PDC所成角大小为θ,sinθ==
,
∵θ∈(0,)∴θ=
(3)在(2)中的空间坐标系中A(1,0,0),B(1,,0),P(0,0,a),
C(﹣3,,0),
=(﹣3,
,﹣a),
=(﹣3λ,
λ,﹣aλ),
=
+
=(0,0,a)+(﹣3λ,
λ,﹣aλ)=(﹣3λ,
λ,a﹣aλ)
=(0,
,0),
=(1,0,﹣a),
设=(x,y,z)为面PAB的法向量,
由=0,得y=0,
由=0,得x﹣az=0,取x=a,z=1,
=(a,0,1),
由DE∥面PAB得:⊥
,
∴=0,﹣3aλ+a﹣aλ=0,∴λ=
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