如图，正三棱柱所有棱长都是2，D棱AC的中点，E是棱的中点，AE交于点H.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.

题型：不详难度：来源：

如图，正三棱柱所有棱长都是2，D棱AC的中点，E是棱的中点，AE交于点H.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.

答案

(1)参考解析；(2) ；(3)

解析

试题分析：(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D, 的坐标，得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD，向量的数量积为零.即可得直线平面.

(2)由平面,平面分别求出这两个平面的法向量，根据法向量的夹角得到二面角的余弦值（根据图形取锐角）.
(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.
试题解析：（1）证明：建立如图所示，
  ∵ 
∴     即AE⊥A₁D，  AE⊥BD
∴AE⊥面A₁BD
（2）由 ∴取
设面AA₁B的法向量为  ，
由图可知二面角D—BA₁—A的余弦值为  
（3），平面A₁BD的法向量取
则B₁到平面A₁BD的距离d=