在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,,,.(1)求证:BC平面PBD:(2)求直线AP与平面PDB所成

在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,,,.(1)求证:BC平面PBD:(2)求直线AP与平面PDB所成

题型:不详难度:来源:
在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,

(1)求证:BC平面PBD:
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值;
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值为
答案
(1)参考解析;(2);(3)
解析

试题分析:(1)由PDCD,底面ABCD是直角梯形,如图建立空间直角坐标系,,写出点D,B,C,P,的坐标,分别写出相应的向量,即可得向量BD与向量CB的数量积为零,向量PD与向量BC的数量积为零.由向量关系转化为空间线面中位置关系,即可得到结论.
(2)要求直线AP与平面PDB所成角的正弦值,等价于求出平面PBD的法向量与向量AP所成的角余弦值即可.
(3)要使得二面角E-BD-P的余弦值为,关键是求出平面EBD的法向量,由于平面PBD的法向量已知,再通过两法向量的夹角的绝对值等于.即可解出的值.
试题解析:(1)证明:因为侧面⊥底面

所以⊥底面,所以.
又因为,即
为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

所以
所以,所以.
⊥底面,可得,
又因为,所以⊥平面.
(2)由(1)知平面的一个法向量为
所以
设直线AP与平面PDB所成角为,则
(3)因为,又,设

所以.设平面的法向量为
因为,由
,令,则可得平面的一个法向量为所以
解得,又由题意知,故.
举一反三
如图,四棱锥中,底面为平行四边形,⊥底面
 
(1)证明:平面平面
(2)若二面角,求与平面所成角的正弦值.
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已知三棱柱平面,四边形为正方形,分别为中点.
(1)求证:∥面
(2)求二面角的余弦值.
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关于坐标原点对称的点是( )
A.(-2,3,-1)B.(-2,-3,-1)C.(2,-3,-1)D.(-2,3,1)

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如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,DAC中点,,延长AEBCF,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.

(1)求证:AE⊥平面BCD
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指明点的位置;若不存在,请说明理由.
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如下图,在四棱柱中,底面和侧面
是矩形,的中点,.
(1)求证:
(2)求证:平面
(3)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.
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