试题分析:(1)利用已知条件得到,,从而证明平面,得到再结合证明平面,从而得到;(2)连接、证明四边形为平行四边形,连接对角线的交点与点的连线为的中位线,再利用线面平行的判定定理即可证明平面;(3)在(1)的前提条件中平面下,选择以点为坐标原点,、分别为轴、轴的空间直角坐标系,设,利用法向量将条件“平面与平面所成的锐二面角的大小为”进行转化,从而求出的长度. 试题解析:(1)因为底面和侧面是矩形, 所以,, 又因为, 所以平面, 因为平面, 所以; (2)因为,, 所以四边形是平行四边形. 连接交于点,连接,则为的中点. 在中,因为,, 所以. 又因为平面,平面, 所以平面; (3)由(1)可知, 又因为,, 所以平面. 设G为AB的中点,以E为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴 如图建立空间直角坐标系,
设,则、、、、、, 设平面法向量为, 因为,, 由,得 令,得. 设平面法向量为, 因为,, 由得 令,得. 由平面与平面所成的锐二面角的大小为, 得, 解得. |