试题分析:(1)要证明平面,需证明及,前面在平面中证明,利用勾股定理,即通过计算设,则.∴,∴.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得,即由面面,得面,再得。(2)求二面角的余弦值,可通过作、证、算,本题可过作,则为所求二面角的平面角.也可利用空间向量求,先建系,求出平面及平面的法向量,利用向量数量积求出两法向量的夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得出结论. 试题解析:(1)连结,∵是等腰直角三角形斜边的中点,∴. 又三棱柱为直三棱柱, ∴面面, ∴面,. 2分 设,则. ∴,∴. 4分 又,∴ 平面. 6分 (2)以为坐标原点,分别为轴建立直角坐标系如图,设,
则, ,. 8分 由(1)知,平面, ∴可取平面的法向量. 设平面的法向量为, 由 ∴可取. 10分 设锐二面角的大小为, 则. ∴所求锐二面角的余弦值为. 12分 |