试题分析: (1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA. (2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值. 试题解析: (1)在 中, , 则 ,∴ ⊥ . ∵ ⊥平面 ,∴ ⊥ . 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112016-18156.png) 平面 , 平面 ,且 , ∴ ⊥平面 . 又 平面 ,∴ ⊥ . 6分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112017-90223.png) (2)由题知,以 为坐标原点, 为 轴, 建立如图空间直角坐标系 . 由已知, ,∴ . 因为等腰梯形 , , , 所以 ,∴ , ,
, , 8分 所以 , ,
, . 设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,故 ,即 . 设平面 的法向量为 , 则 , 令 ,∴ ,即 . 故 , 设二面角 的大小为 ,由图可知 是钝角, 所以二面角 的余弦值为 . 12分 |