在长方体ABCD—A1B1C1D1中,,点E是棱AB上一点.且.(1)证明:;(2)若二面角D1—EC—D的大小为,求的值.
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在长方体ABCD—A1B1C1D1中,,点E是棱AB上一点.且.(1)证明:;(2)若二面角D1—EC—D的大小为,求的值.
题型:不详
难度:
来源:
在长方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
,点
E
是棱
AB
上一点.且
.
(1)证明:
;
(2)若二面角
D
1
—
EC
—
D
的大小为
,求
的值.
答案
(1)详见解析;(2)
-1.
解析
试题分析:(1)根据题意显然以
D
为原点,
DA
为
x
轴,
DC
为
y
轴,
DD
1
为
z
轴建立空间直角坐标系.此时不妨设
AD
=
AA
1
=1,
AB
=2,则本表示出图中各点坐标,这里主要是要运用向量的知识表示出点E的坐标,这样就可表示出
和
的坐标,利用向量垂直的充要条件:它们的数量积等于0,问题即可得证;(2)运用求平面法向量的知识分别求出:平面
DEC
的法向量为
n
1
=(0,0,1);平面
D
1
CE
的法向量为
,利用向量夹角知识可得:
,可解得
±
-1.利用
E
是棱
AB
上的一点,所以
λ
>0,故所求的
λ
值为
-1.
试题解析:(1)以
D
为原点,
DA
为
x
轴,
DC
为
y
轴,
DD
1
为
z
轴建立空间直角坐标系.
不妨设
AD
=
AA
1
=1,
AB
=2,
则
D
(0,0,0),
A
(1,0,0),
B
(1,2,0),
C
(0,2,0),
A
1
(1,0,1),
B
1
(1,2,1),
C
1
(0,2,1),
D
1
(0,0,1).
因为
=
λ
,所以
,于是
(-1,0,-1).
所以
.
故
D
1
E
A
1
D
. 5分
(2)因为
D
1
D
⊥平面
ABCD
,所以平面
DEC
的法向量为
n
1
=(0,0,1).
又
,
(0,-2,1).
设平面
D
1
CE
的法向量为
n
2
=(
x
,
y
,
z
),
则
n
2
·
,
n
2
·
,
所以向量
n
2
的一个解为
.
因为二面角
D
1
—
EC
—
D
的大小为
,则
.
解得
±
-1.
又因
E
是棱
AB
上的一点,所以
λ
>0,故所求的
λ
值为
-1. 10分
举一反三
如图,在长方体
中,
点
在棱
上.
(1)求异面直线
与
所成的角;
(2)若二面角
的大小为
,求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在直角梯形ABCP中,
,D是AP的中点,E,G分别为PC,CB的中点,将三角形PCD沿CD折起,使得PD垂直平面ABCD.(1)若F是PD的中点,求证:AP
平面EFG;(2)当二面角G-EF-D的大小为
时,求FG与平面PBC所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(理)已知直三棱柱
中,
,
是棱
的中点.如图所示.
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PB=BC=CD=
AB.Q是PC上的一点,且PA∥平面QBD.
⑴确定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
, 则
两点间距离的最小值是( )
A.
B.2
C.
D.1
题型:不详
难度:
|
查看答案
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