椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;(2)求证:当△PA

椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;(2)求证:当△PA

题型:不详难度:来源:
椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、AB在椭圆E上,且m(mR).
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(2)求证:当△PAB的面积取得最大值时,原点O是△PAB的重心.
答案
解:(1)由=解得a2=4,b2=3,
椭圆方程为;…………………………………………………………2分
Ax1,y1)、Bx2,y2),
x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即 
,两式相减得
;………………………6分
(2)设AB的方程为y=,代入椭圆方程得:x2-tx+t2-3=0,
△=3(4-t2),|AB|=
P到直线AB的距离为d=
SPAB     == (-2<t<2).……………….10分
f(t) =3(2-t)3(2+t),则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),由f’(t)=0得t=-1或2(舍),
当-2<t<-1时,f’(t)>0,当-1<t<2时f’(t)<0,所以当t=-1时,f(t)有最大值81,
即△PAB的面积的最大值是;                
根据韦达定理得x1+x2=t=-1,而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3,
于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0).……………………………………………………13分
解析

举一反三
已知向量,其中O是坐标原点,若A,B,C三点共线,则实数k=(   )
A.B.C.11D.或11

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已知向量,若垂直,则    
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已知向量,若向量与向量共线,则实数等于     (   )
A.-2B.C.-1D.

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设向量,,则下列结论中正确的是
A.B.C.D.

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=(-1,1),=(1,m)若,则实数m的值为(   )
A.-1B.1C.0D.

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