设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:1a1a2+1a2a3+…+1
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设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:1a1a2+1a2a3+…+1
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,
S
n
=n
a
n
-2n(n-1)(n∈
N
*
)
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n-1
a
n
<
1
4
.
答案
(Ⅰ)依题意
S
n
=n
a
n
-2n(n-1)(n∈
N
*
)
S
n-1
=(n-1)
a
n-1
-2(n-1)(n-2)(n≥2,n∈
N
*
)
两式相减得
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=n
a
n
-(n-1)
a
n-1
-4n+4,(n≥2,n∈
N
*
)
所以(1-n)a
n
=-(n-1)a
n-1
-4(n-1)
因为n≥2,n∈N
*
,所以1-n≠0,
两边同除以(1-n)可得,
a
n
=
a
n-1
+4⇒
a
n
-
a
n-1
=4,(n≥2,n∈
N
*
)
所以{a
n
}是以a
1
=1为首项,公差为4的等差数列
所以a
n
=a
1
+(n-1)d=4n-3
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
1
a
n-1
•
a
n
=
1
(4n-7)(4n-3)
=
1
4
(
1
4n-7
-
1
4n-3
)
所以
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n-1
a
n
=
1
4
(1-
1
5
+
1
5
-
1
9
+
1
9
-
1
13
+…+
1
4n-7
-
1
4n-3
)
=
1
4
(1-
1
4n-3
)<
1
4
举一反三
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
15
=225;等比数列{b
n
}满足:b
3
=a
2
+a
3
,b
2
b
5
=128
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式
(2)记c
n
=a
n
+b
n
求数列{c
n
}的前n项和为T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=
a
n
2
a
n
+1
(n∈N).
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)设:
2
b
n
=
1
a
n
+1
求数列{b
n
b
n+1
}的前n项的和T
n
;
(3)已知P=(1+b
1
)(1+b
3
)(1+b
5
)…(1+b2
n-1
),求证:Pn>
2n+1
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}各项都不相同,前3项和为18,且a
1
、a
3
、a
7
成等比数列
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n+1
-b
n
=a
n
(n∈N
*
),且b
1
=2,求数列
{
1
b
n
}
的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=-
4+
1
x
2
,数列{a
n
},点P
n
(a
n
,-
1
a
n+1
)在曲线y=f(x)上(n∈N
+
),且a
1
=1,a
n
>0.
( I)求数列{a
n
}的通项公式;
( II)数列{b
n
}的前n项和为T
n
且满足b
n
=a
n
2
a
n+1
2
,求T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
1
=1,前10项和S
10
=100;
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设log
2
b
n
=a
n
,证明{b
n
}为等比数列,并求{b
n
}的前四项之和.
(3)设c
n
=b
n
+a
n
,求{c
n
}的前五项之和.
题型:不详
难度:
|
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