在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 、F 分别为A1D1和CC1的中点.    (1) 求证:EF∥平面ACD1 ;    (2) 求异面直

在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 、F 分别为A1D1和CC1的中点.    (1) 求证:EF∥平面ACD1 ;    (2) 求异面直

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在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 、F 分别为A1D1和CC1的中点.    (1) 求证:EF∥平面ACD1 ;    
(2) 求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值;    
(3) 在棱BB1上是否存在一点P ,使得二面角P-AC-B 的大小为30°。
答案
解:如图,分别以DA、DC、DD1所在的直线为z轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,
由已知得D(O,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B,(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1).
(1)证明:易知平面ACD1的一个法向量=(2,2,2).
=(-1,2,-1),
= -2+4-2=0.

而EF平面ACD1
∴EF∥平面ACD1
(2)∵=(0,2,0),

∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为
(3)设点P(2,2,f)(0<t≤2),平面ACP的一个法向量为n=(x,y,z),
=(-2,2,0),=(0,2,t),

易知平面ABC的一个法向量=(0,0,2),  
依题意知=30°或=150°.

解得
∴在棱B,上存在一点P,当BP的长为时,二面角P-AC-B的大小为30°.
举一反三
平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l" 的方向向量分别为  a=(1 ,0 ,1) ,b=(0 ,1 ,1) ,则斜线l 与平面α所成的角为  [     ]
A.30 °    
B.45 °  
C.60 °    
D.90 °
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如图,在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 、  N 分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值为  
[     ]
  
  
  
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在直角坐标系Oxyz 中,已知点P(2cosx+1 ,2cos2x+2 ,0) 和点Q (cosx ,-1 ,3 ),其中x ∈[0 ,π] ,若直线OP 与直线OQ垂直,则x 的值为____ .
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在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC。
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已知A (2 ,-5 ,1 ),B(2 ,-2 ,4) ,C (1 ,-4 ,1 ),则的夹角为[     ]
A.30°    
B.45°    
C.60°    
D.90°
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