已知数集A={a1,a2,…,an}(1=a1<a2<…<an,n≥4)具有性质P:对任意的k(2≤k≤n),∃i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成
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已知数集A={a1,a2,…,an}(1=a1<a2<…<an,n≥4)具有性质P:对任意的k(2≤k≤n),∃i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成立. (Ⅰ)分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:a4≤2a1+a2+a3; (Ⅲ)若an=72,求n的最小值. |
答案
(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P. 因为不存在ai,aj∈{1,3,4,7},使得3=ai+aj. 所以{1,3,4,7}不具有性质P. (Ⅱ)因为集合A={a1,a2,…,an}具有性质P, 所以对a4而言,存在ai,aj∈{a1,a2,…,an},使得 a4=ai+aj 又因为1=a1<a2<a3<a4…<an,n≥4 所以ai,aj≤a3,所以a4=ai+aj≤2a3. 同理可得a3≤2a2,a2≤2a1 将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2(a1+a2+a3) 所以a4≤2a1+a2+a3. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知a2≤2a1,a3≤2a2…, 又a1=1,所以a2≤2,a3≤4,a4≤8,a5≤16,a6≤32,a7≤64<72 所以n≥8 构造数集A={1,2,4,5,9,18,36,72}(或A={1,2,3,6,9,18,36,72}), 经检验A具有性质P,故n的最小值为8. |
举一反三
“所有6的倍数都是3的倍数,某数m是6的倍数,则m是3的倍数.”上述推理是( )A.正确的 | B.结论错误 | C.小前提错误 | D.大前提错误 | 关于演绎推理的说法正确的是( )A.演绎推理是由一般到一般的推理 | B.只要大前提正确,由演绎推理得到的结果必正确 | C.演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确 | D.演绎推理不能用于命题的证明 | 能使命题“已知∠A和∠B是对顶角,所以∠A=∠B”为真命题的大前提是( )A.内错角相等,两直线平行 | B.对顶角相等 | C.等腰三角形的两个底角相等 | D.两直线平行,内错角相等 | 用符号“⇒”,“⇐”或“⇔”填空. (1)“x=2”______“x2-4=0”; (2)“a是整数”______“a是自然数”; (3)“a-4是实数”______“a是实数”. | 演绎推理中的“三段论”是指( )A.第一段、第二段、第三段 | B.大前提、小前提、结论 | C.归纳、猜想、证明 | D.分三段来讨论 |
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