解:(1)当a=0时,, ∴f(3)=1, ∵f"(x)=x2-2x ………3分 曲线在点(3,1)处的切线的斜率k=f"(3)="3 " ………4分 ∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y="3x-8 " ………6分 (2)∵f"(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x1=3a,x2=a+2 ①当x1=x2时,3a=a+2,解得a=1,这时x1=x2=3,函数y=f"(x)在(0,4)上 有唯一的零点,故a=1为所求;………7分 ②当x1>x2时,即,这时x1>x2>3, 又函数y=f"(x)在(0,4)上有唯一的零点, ..........10分 ③当x1<x2时,即a<1,这时x1<x2<3 又函数y=f"(x)在(0,4)上有唯一的零点, ∴ ………13分 综上得当函数在上有唯一的零点时, 或或. ………14分 |