已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF

题型：不详难度：来源：

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．
问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

答案

详见解析.

解析

试题分析：（1）在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

，即CG=EG.
(2) 连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．可证：△DAG≌△DCG，得出AG=CG，另外又可证△DMG≌△FNG得MG=NG，可证△AMG≌△ENG即有答案CG=EG.
试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴

，
同理，在Rt△DEF中，

，
∴CG=EG．
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG，
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG，
∴MG=NG；
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG，
∴AG=EG，
∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF=CB，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴