已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图①中△BEF

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图①中△BEF

题型:不详难度:来源:
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.
问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
答案
详见解析.
解析

试题分析:(1)在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,即CG=EG.
(2) 连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.可证:△DAG≌△DCG,得出AG=CG,另外又可证△DMG≌△FNG得MG=NG,可证△AMG≌△ENG即有答案CG=EG.
试题解析:解:(1)证明:在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,

同理,在Rt△DEF中,

∴CG=EG.
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.

证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG,
∴MG=NG;
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG与△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG,
∴EG=CG.

证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,

∴EG=CG.
(3)(1)中的结论仍然成立.
即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.
举一反三
下列四个图案,其中轴对称图形有(   )
A.0个B.1个C.2个D.3个

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下列食品商标中不是轴对称图形的是(    )

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A.4种B.5种C.6种D.7种

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在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标是(4,4),请解答下列问题:

(1)将△ABC向下平移5个单位长度,画出平移后的△A1B1C1并写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2
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