解法一:(Ⅰ)设D(x,y),∵A(a,0),由ABCD为菱形 且AC、BD的交点在y轴上, ∴B、C两点坐标为(-x,0)、(-a,y). 由AC⊥BD得 ·=(2x,y)·(2a,-y) =4ax - y2=0, 即 y2 = 4ax. 注意到ABCD为菱形,∴x≠0 故轨迹E的方程为y2 = 4ax(x≠0). (Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90°. 证明如下: (1)当PQ⊥x轴时,P、Q点的坐标为(a,±2a),又R(一a,0), 此时∠PRQ=90°,结论成立; (2)当PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(x一a), 由得 k2x2 - (2ak2+4a)x + k2a2 = 0 记P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2a+,x1 x2=a2. ·=(x1+a)(x2+a)+y1y2 =(x1+a)(x2+a)+k2(x1- a)(x2- a) =(1+k2) x1 x2+(a - ak2)( x1+x2)+a2+a2k2 =(1+k2) a2 +(a - ak2)( 2a+)+a2+a2k2=>0 即<,>为锐角, 综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立. 解法二:(Ⅰ)设D(x,y),由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上, ∴C点坐标为(-a,y),∵A(a,0),由|DA|=|DC|得 , 化简得y2=4ax. 注意到ABCD为菱形,∴x≠O, 故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O). (Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90° 证明如下: 设P(x1,y1),Q(x2,y2),同证法一易知,则x1 x2=a2.又y12=4ax1,y22=4ax2,且|PR|2=x1+x2+2a ,因为 |PR|2+|QR|2-|PQ|2=(x1+a)2+y12+(x2+a)2+y22-( x1+x2+2a)2 =2ax1+2ax2-4a2≥2-4a2=4a-4a2=0 从而 cos∠PRQ=≥0, 即∠PRQ≤90° 解法三:(Ⅰ)因为ABCD为菱形,且AC与BD的交点在y轴上, 所以点C的横坐标为 -a, 即点C在直线x = -a上,从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距 离.又ABCD为菱形,所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离 相等,即轨迹E为抛物线,方程为y2=4ax. 注意到ABCD为菱形,∴x≠O, 故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O). (Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90° 证明如下: 如图,过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线,记垂足为M、N、C、H, 则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|,所以∠PRM≤45°, 同理可证∠QRN≤45°,从而∠PRQ≤90° 解法四:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角,即∠PRQ≤90° 证明如下: 设P(x1,y1),则y12=4ax1,tan∠PRM=|kPR|=||=, ∵x1+a≥2,∴tan∠PRA≤1,∠QRA≤45°, 同理可证∠QRA≤45°,即∠PRQ≤90° |