本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。 (1)根据已知条件,对n令值,得到前几项的和,然后归纳猜想。 (2)运用数学归纳法加以证明,分为两步骤,注意要用到假设。 证明: 当n=1时, 当n≥2时,, 代入(*)式得① ……(3分) 当n=2时,由①得 ……(4分) 当n=3时,由①得 ……(5分) 可以看到上面表示的三个结果的分数中,分子与项数一致,分母是项数加1, 由此猜想 n=1,2,3… ……(6分) 下面用数学归纳法证明这个猜想: (1)当n=1时已知猜想成立 ……(7分) (2)假设n=k时猜想成立,即 则当n=k+1时,由①得 这就是说,当n=k+1时,猜想也成立 ……(10分) 根据(1)和(2),可知对所有正整数n都成立 ……(12分) |