是否存在常数a、b、c使等式1•(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.
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是否存在常数a、b、c使等式1•(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论. |
答案
分别用n=1,2,3代入解方程组 | a+b+c=0 | 16a+4b+c=3 | 81a+9b+c=18 |
| | ⇒ 下面用数学归纳法证明. (1)当n=1时,由上可知等式成立; (2)假设当n=k时,等式成立, 则当n=k+1时,左边=1•[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2] =1•(k2-12)+2(k2-22)++k(k2-k2)+1•(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1) =k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)++k(2k+1) =(k+1)4-(k+1)2. ∴当n=k+1时,等式成立. 由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立. |
举一反三
设函数f(x)的定义域、值域均为R,f(x)的反函数为f-1(x),且对任意实数x,均有f(x)+f-1(x)<x,定义数列an:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,…. (1)求证:an+1+an-1<an(n=1,2,…); (2)设bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求证:bn<(-6)()n(n∈N*); (3)是否存在常数A和B,同时满足①当n=0及n=1时,有an=成立;②当n=2,3,…时,有an<成立.如果存在满足上述条件的实数A、B,求出A、B的值;如果不存在,证明你的结论. |
在数列|an|中,a1=t-1,其中t>0且t≠1,且满足关系式:an+1(an+tn-1)=an(tn+1-1),(n∈N+) (1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之; (2)求证:an+1>an,(n∈N+). |
证明:xn-nan-1x+(n-1)an能被(x-a)2整除(a≠0). |
已知数列{an}中,a1=1,且an=an-1+2n•3n-2(n≥2,n∈N∗). (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn= (n∈N∗),数列{bn}的前n项和为Sn,试比较S2与n的大小; (3)令cn= (n∈N*),数列{}的前n项和为Tn.求证:对任意n∈N*,都有 Tn<2. |
已知数列an满足递推关系式:2an+1=1-an2(n≥1,n∈N),且0<a1<1. (1)求a3的取值范围; (2)用数学归纳法证明:|an-(-1)|<(n≥3,n∈N); (3)若bn=,求证:|bn-(+1)|<(n≥3,n∈N). |
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