【题文】已知函数,对定义域内任意,满足,则正整数的取值个数是
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【题文】已知函数
,对定义域内任意
,满足
,则正整数
的取值个数是
答案
【答案】5
解析
【解析】
考点:函数恒成立问题。
分析:由条件对定义域内任意x
1,x
2,满足|f(x
1)-f(x
2)|<1,问题可以转化为f(x)
max-f(x)
min<1,因此求函数的最值是关键.求最值时,利用换元法求解。
解答:
由题意,
=
cosα,
=
sinα(α∈[0,π/2],
f(x)=
cosα+
sinα=
sin(α +π/4),
从而有f(x)
max=
,f(x)
min=
,
∴
-
<1解得a<3+2
,
∵a∈N
*,
∴a=1,2,3,4,5,
∴正整数
的取值个数是5个。
点评:解答时等价转化是解题的关键,求解函数的最值运用三角换元法,应注意参数角的范围。
举一反三
【题文】函数
的定义域为( )
【题文】
的单调递增区间是
【题文】若函数
f(
x)=
,则
f(
x)的定义域是
【题文】若函数
的定义域是
,则函数
的定义域是_________
【题文】函数
的定义域为
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