【题文】已知,若函数只有一个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
【题文】已知,若函数只有一个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
题型:难度:来源:
【题文】已知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001638-34850.png)
,若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001638-30885.png)
只有一个零点,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001638-10998.png)
的取值范围是( )
答案
【答案】D
解析
【解析】
试题分析:可将问题转化为函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001640-91126.png)
和
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001640-50766.png)
的图像只有一个交点。将
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001640-50766.png)
变形为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001640-78376.png)
,可知直线过定点
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-24644.png)
。
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-11116.png)
时,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-29096.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-52884.png)
上是增函数,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-77382.png)
;当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-51272.png)
时,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-29096.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-99137.png)
上单调递减,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-34379.png)
。当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-58969.png)
时,显然成立;当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-73111.png)
时,直线与函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-33481.png)
相切时,因定点
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-24644.png)
即在直线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001640-78376.png)
上又在函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001642-33481.png)
图像上,则此点
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-24644.png)
即为切点,因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001643-42651.png)
,由导数的几何意义可得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001643-93472.png)
,有数形结合分析可知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001643-60023.png)
时两函数图像只有一个交点;当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001644-84293.png)
时,直线与函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001644-26187.png)
相切时点
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001641-24644.png)
即为切点。因为此时
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001644-70585.png)
,所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001645-98298.png)
即此时切线的斜率
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001645-29107.png)
,由数形结合分析可知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001646-66559.png)
时两函数图像只有一个交点。综上可得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001646-66559.png)
或
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001646-39621.png)
。故D正确。
考点:1函数的单调性;2数形结合思想。
举一反三
【题文】设a,b为实数,关于x的方程
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001625-94189.png)
的4个实数根构成以d为公差的等差数列,若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001625-55467.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326001626-63466.png)
的取值范围是
.
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