【题文】(14分)已知函数.(1)用定义证明是偶函数;(2)用定义证明在上是减函数;(3)作出函数的图像,并写出函数当时的最大值与最小值.
题型:难度:来源:
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-72077.png)
.
(1)用定义证明
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
是偶函数;
(2)用定义证明
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
上是减函数;
(3)作出函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
的图像,并写出函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134004-43469.png)
时的最大值与最小值.
答案
【答案】(1)证明过程见试题解析,(2)证明过程见试题解析,(3)最大值7,最小值
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134004-67700.png)
。
解析
【解析】
试题分析:(1)先求出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
定义域为R,然后再求得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134004-66826.png)
,易得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134004-41257.png)
,(2)根据减函数的定义,先在定义域内任取两个变量
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-51091.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
,然后作差因式分解得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-16348.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-89476.png)
,又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-16939.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
,可知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-46639.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
上是减函数,(3)因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-72077.png)
为二次函数,根据列表、描点、连线可画出它在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-88040.png)
的大致图像。
试题解析:(1)证明:函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
的定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134007-48594.png)
,对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134007-85578.png)
,都有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134007-74020.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
是偶函数.
(2)证明:在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
上任取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-51091.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
,则有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-32727.png)
,
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-16939.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-43040.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-85846.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-46639.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
上是减函数.
(3)图略,最大值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134009-59417.png)
,最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134009-29223.png)
.
考点:(1)偶函数定义,(2)减函数定义,(3)数形结合求函数最值问题。
举一反三
【题文】(14分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133954-38281.png)
是定义在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133954-92126.png)
上的奇函数,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133954-38281.png)
在定义域上是减函数,
(1)求函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133955-15798.png)
定义域; (2)若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133955-69881.png)
,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133955-99059.png)
的取值范围.
【题文】函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133857-58648.png)
和
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133858-86783.png)
分别是
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133858-21151.png)
上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
【题文】若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133838-39120.png)
,规定:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133839-21331.png)
,例如:( )
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133839-28099.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133839-88657.png)
的奇偶性为
A.是奇函数不是偶函数 |
B.是偶函数不是奇函数 |
C.既是奇函数又是偶函数 |
D.既不是奇函数又不是偶函数 |
【题文】函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326133746-55099.png)
在其定义域内是( )
A.偶函数 | B.奇函数 | C.既奇又偶函数 | D.非奇非偶函数 |
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