【题文】已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数
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【题文】已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
答案
【答案】(1)k=-1. (2)(0,+∞)
解析
【解析】(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
∴(1+k)+(k+1)·22x=0对一切x∈R恒成立,
∴k=-1.
(2)∵x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,
即2x+k·2-x>2-x成立,
∴1-k<22x对x≥0恒成立,
∴1-k<(22x)min,
∵y=22x在[0,+∞)上单调递增,
∴(22x)min=1,
∴k>0.
∴实数k的取值范围是(0,+∞).
举一反三
【题文】设函数
是定义在
上的偶函数,当
时,
,若
,则实数
的值为
.
【题文】已知函数f(x)=
为奇函数,则f(
)=
。
【题文】函数
的图象大致是( )
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