【题文】设奇函数在上是增函数,且,则不等式的解集为(   )A.B.C.D.

【题文】设奇函数在上是增函数,且,则不等式的解集为(   )A.B.C.D.

题型:难度:来源:
【题文】设奇函数上是增函数,且,则不等式的解集为(   )
A.B.
C.D.
答案
【答案】D
解析
【解析】本试题主要是考查了抽象函数的单调性、奇偶性和不等式的求解问题。
∵函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴它在(-∞,0)上也是增函数.∵f(-x)=-f(x),
∴f(-1)=f(1)=0.不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化为2xf(x)<0,
即xf(x)<0,∴当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),∴x>-1,∴-1<x<0;当x>0时,可得f(x)<0=f(1),∴x<1,∴0<x<1.
综上,不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为{x|-1<x<0,或0<x<1},故选D.
解决该试题的关键是将所求的不等式结合奇函数化简为xf(x)<0,然后分类讨论得到结论。
举一反三
【题文】定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则(   )
A.B.
C.D.
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【题文】本小题满分8分
已知函数,求函数的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由.
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【题文】设f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),则 f(x)在 (-∞,0)上的解析式               
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【题文】已知函数的定义域为,对于任意的,都有,且当时,,若.
(1)求证:为奇函数;
(2)求证:上的减函数;
(3)求函数在区间上的值域.
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【题文】设是定义在R上的奇函数,且当时,的值等于____   
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