如图所示，ABC为一细圆管构成的34圆轨道，将其固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光

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如图所示，ABC为一细圆管构成的

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圆轨道，将其固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑．在A点正上方某位置有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球经过C点时恰与管壁没有相互作用，求小球经过C点时的速度大小；
（2）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道对小球的作用力大小；
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，求小球刚开始下落时距离A点的高度．

答案

（1）设通过C点时小球速度为v_c，
小球与管壁没有相互作用，则重力充当向心力，即：mg=

m v 2c

R

解得：v_c=

gR

（2）小球恰好通过C点，故小球通过C点的速度为零，
对小球由B到C的过程根据动能定理，有：0-

1

2

m

v

2B

=mg2R ①
又由小球经过B点时，由牛顿第二定律：FN-mg=

m v 2B

R

②
①②联立可得：v_B=2

Rg

，F_N=5mg
（3）小球从C点飞出后做平抛运动，
竖直方向：R=

1

2

gt2
水平方向：R=v_c′t
解得：v_c′=

gR 2

由初末机械能守恒可得：mg(h-R)=

1

2

m

v′

2c

解得：h=

5

4

R
答：（1）若小球经过C点时恰与管壁没有相互作用，小球经过C点时的速度大小为

gR

；
（2）若小球刚好能到达轨道的最高点C，小球经过最低点B时的速度大小为2

Rg

，轨道对小球的作用力大小为5mg；
（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，小球刚开始下落时距离A点的高度为

5

4

R．