使用“弹簧式角速度测量仪”可以测量运动装置自转时角速度的大小，其结构示意图如图所示．将测量仪固定在待测装置上，当装置绕竖直固定轴OO′转动时，与轻弹簧相连的小球

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使用“弹簧式角速度测量仪”可以测量运动装置自转时角速度的大小，其结构示意图如图所示．将测量仪固定在待测装置上，当装置绕竖直固定轴OO′转动时，与轻弹簧相连的小球A可在光滑绝缘细杆BC上滑动，同时带动连接在A上的滑动变阻器的动触片P在与BC平行的电阻丝MN上滑动，使得电压表V的示数U₀随装置转动的角速度ω发生变化，据此可测出待测装置的角速度ω的大小．
已知：小球A的质量为m；弹簧的原长为x₀、劲度系数为k；电阻MN粗细均匀、长度为L、阻值为R；电压表V通过两根导线分别接在电阻丝MN的中点Q和动触片P上，电阻丝MN的两端接在电压为U的直流稳压电源上．闭合开关后S测量仪器即可工作．若不计导线和动触片P的电阻、以及导线对动触片P的影响，忽略动触片P和电阻MN之间的摩擦，且电压表视为理想电表．装置静止时，动触片P与Q（导线和电阻的连接点）重合．
（1）试推导：待测装置自转的角速度ω与电压表V的示数U₀之间的关系式．
（2）用该测量仪能测量的自转角速度的最大值ω_m是多少？

答案

（1）设待测装置自转的角速度为ω时，弹簧伸长量为x，电压表V的示数为U₀，小球A做圆周运动的半径为 r=x₀+x，弹簧弹力为F．
根据牛顿第二定律，有　　　F=mω²r               ①
由胡克定律　　　　　　　　F=kx                 ②
电压表V的示数（即P、Q间的电压）为U₀，设P、Q间的电阻值为R_x，有

U0

U

=

Rx

R

=

x

L

     ③
①、②、③式联立，得ω=

k m(1+ x0U LU0 )

             ④
（2）用该测量仪测量某装置自转的角速度为最大值ω_m时，有：
x=

1

2

L                                        ⑤
U0=

1

2

U                                      ⑥
代入④式，得  ωm=

k m(1+ 2x0 L )

答：（1）待测装置自转的角速度ω与电压表V的示数U₀之间的关系式为

k m(1+ x0U LU0 )

．
（2）用该测量仪能测量的自转角速度的最大值ω_m是

k m(1+ 2x0 L )

．