如图所示，相互平行的竖直分界面MN、PQ，相距L，将空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区．Ⅰ、Ⅲ区有水平方向的匀强磁场，Ⅰ区的磁感应强度未知，Ⅲ区的磁感应强度为B；Ⅱ区有竖直方

题型：不详难度：来源：

如图所示，相互平行的竖直分界面MN、PQ，相距L，将空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区．Ⅰ、Ⅲ区有水平方向的匀强磁场，Ⅰ区的磁感应强度未知，Ⅲ区的磁感应强度为B；Ⅱ区有竖直方向的匀强电场（图中未画出）．一个质量为m、电荷量为e的电子，自MN上的O点以初速度v₀水平射入Ⅱ区，此时Ⅱ区的电场方向竖直向下，以后每当电子刚从Ⅲ区进入Ⅱ区或从Ⅰ区进入Ⅱ区时，电场突然反向，场强大小不变，这个电子总是经过O点且水平进入Ⅱ区．（不计电子重力）
（1）画出电子运动的轨迹图；
（2）求电子经过界面PQ上两点间的距离；
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，求Ⅰ区的磁感应强度．

答案

（1）电子运动的轨迹如图所示．
（2）电子在Ⅱ区Oa段做类平抛运动，
在a点的速度v₁与PQ成θ角，v₁sinθ=v₀…①
电子在Ⅲ区ab段做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：
ev1B=

m v 21

R1

…②
由几何知识有：

.

ab

=2R1sinθ…③
①②③联立解得：

.

ab

=

2mv0

eB

…④
（3）电子在Ⅱ区Oa段运动的竖直位移：
y1=

1

2

at2=

eE

2m

?(

L

v0

)2=

eEL2

2m v 20

…⑤
电子在bc段做类斜上抛运动，加速度与Oa段等值反向，由运动的对称性得
电子运动的竖直位移：
y2=y1=

eEL2

2m v 20

…⑥
同样有对称可得电子在c处的速度为：
v_c=v₀，方向水平向左…⑦
所以，电子在Ⅰ区CO段做匀速圆周运动的半径为：
R′=

1

2

(y1+y2+

.

ab

)…⑧
由牛顿运动定律有：
ev0B=

m v 20

R′

…⑨
解得：
B′=

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 20

（或

2m2 v 30 B

2m2 v 30 +e2L2BE

）
答：（1）电子运动的轨迹图如图所示．
（2）电子经过界面PQ上两点间的距离为

2mv0

eB

．
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，Ⅰ区的磁感应强度为

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 20

．