固定凹槽的水平部分AB长为2L，其左侧BC是与水平部分平滑相接的半径为L/4的半圆轨道，BC与AB在同一竖直平面内，其右端固结一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧

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固定凹槽的水平部分AB长为2L，其左侧BC是与水平部分平滑相接的半径为L/4的半圆轨道，BC与AB在同一竖直平面内，其右端固结一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧a，弹簧左侧放置一长为L的筒，筒的左端开口，右端封闭，右端外侧与弹簧a不固结，筒内右端固结一同样规格的轻质弹簧，弹簧左侧放置一个小球，与弹簧b右端不固结。小球与筒内壁的滑动摩擦因数为

，筒与凹槽的滑动摩擦因数为

，半圆轨道光滑。如图所示，现将两个弹簧的长度均压缩为L/2，且用销钉K将小球和筒固定，发现筒恰好不滑动。现将K突然拔掉，同时对筒施加一方向水平向左的力F，使筒向左匀加速运动，直到筒撞击B处之后使筒立刻停止运动。已知小球的质量为m，筒的质量为2m，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略小球的直径、筒壁和筒底的厚度、筒的内径、外径。
（1）若要求在筒撞击B处之前，弹簧b长度未变，试求该力初始值的取值范围；
（2）若该力初始值为

，且小球从C处落回后，恰好未撞击筒，求该力在筒撞击B处之前做的功。

答案

(1)

(2)

解析

（1）由于筒恰好不动，对筒和小球：

……………1分
拔掉销钉，设小球所允许的加速度最大值是

,应有

……………1分
最小值是

，应有

………………………1分
刚拔掉销钉时，对筒和小球：

…………………1分
且

以上解得：

……………………………1分
（2）刚拔掉销钉时，对筒和小球：

……………1分
设撞击B处之前，系统速度是

，则

………………1分
而从C处抛出时的速度设为

,由平抛运动公式有

，

……………2分
从拔掉销钉到撞击B处，对小球，由动能定理有

…3分
对筒和小球整体，由动能定理有

……………3分
而由于两只弹簧规格相同，变化过程相同，有

…………1分
以上解得

…………………………2分

举一反三

一个质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝20 m的高台上水平滑出，落在水平地面上的B点，由于落地时有机械能损失，落地后只有大小为10 m / s的水平速度，滑行到C点后静止，如图所示。已知A与B、B与C之间的水平距离s₁＝30 m，s₂＝40 m，g＝10 m / s²，不计空气阻力。求：
（1）滑雪运动员在水平面BC上受到的阻力大小f＝?
（2）落地时损失的机械能△E＝?

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如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距为d=1.0m，导轨平面与水平面夹角为

，导轨上端跨接一定值电阻R=1.6

，导轨电阻不计.整个装置处于方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1.0T的匀强磁场中，金属棒ef垂直于MN、PQ静止放置，且与导轨保持良好接触，其长刚好为d、质量度m=0.10kg、电阻r=0.40

，距导轨底端的距离

。另一根与金属棒平行放置的绝缘棒gh长度也为d，质量为m/2，从轨道最低点以速度

沿轨道上滑并与金属棒发生正碰（碰撞时间极短），碰后金属棒沿导轨上滑

后再次静止。测得从碰撞至金属棒静止过程中电阻R上产生的焦耳热为

。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为

，取

，求：
（1）碰后瞬间两棒的速度
（2）碰后瞬间金属的加速度
（3）金属棒在导轨上运动的时间

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一质量为M的汽艇，在静水中航行时能达到的最大速度为10m/s。假设航行时，汽艇的牵引力F始终恒定不变，而且汽艇受到的阻力f与其航速v之间，始终满足关系：f=kv，其中k=100N·s/m，不计水的粘性，各速度均为对地值。求：
⑴该汽艇的速度达到5m/s的瞬时，汽艇受到的阻力为多大？
⑵该汽艇的牵引力F为多大？
⑶若水被螺旋桨向后推出的速度为8m/s，汽艇以最大速度匀速行驶时，在3秒钟之内，估算螺旋桨向后推出水的质量m为多少?

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）如图所示，质量为m=1kg的小球被长L=4m的绳悬挂于O点，悬点距地面高h=6m，将小球拉开某一角度θ（θ＜90⁰），无初速释放，到最低点时绳子被钉子挡住，绳子刚好断裂，小球被水平抛出，水平距离x=4m，钉子距悬点的距离为d=3m。（g=10m/s²）
求：（1）绳子能承受的最大拉力？
（2）小球释放点绳与竖直方向的夹角θ？

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如图所示，一质量为M的木板静止置于光滑的水平面上，一质量为m的木块以初速度v₀滑上木板的左端，已知木块和木板间的动摩擦因素为μ，木块始终没有滑离木板。
（1）求从木块滑上木板开始至二者具有相同的速度所用的时间；
（2）证明从运动开始至二者具有共同速度时，木板对地的位移小于木块对木板的位移。

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