如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上

题型：不详难度：来源：

如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v₀．整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行．
（1）求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a；
（3）导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q．

答案

（1）棒产生的感应电动势E₁=BLv₀
通过R的电流大小I1=

E1

R+r

=

BLv0

R+r

根据右手定则判断得知：电流方向为b→a        　　　　
（2）棒产生的感应电动势为E₂=BLv
感应电流I2=

E2

R+r

=

BLv

R+r

棒受到的安培力大小F=BIL=

B2L2v

R+r

，方向沿斜面向上，如图所示．
根据牛顿第二定律 有　mgsinθ-F=ma
解得　a=gsinθ-

B2L2v

m(R+r)

（3）导体棒最终静止，有　mgsinθ=kx
弹簧的压缩量x=

mgsinθ

k

设整个过程回路产生的焦耳热为Q₀，根据能量守恒定律　有
  

1

2

m

v

20

+mgxsinθ=EP+Q0
解得 Q0=

1

2

m

v

20

+

(mgsinθ)2

k

-EP
电阻R上产生的焦耳热Q=

R

R+r

Q0=

R

R+r

[

1

2

m

v

20

+

(mgsinθ)2

k

-EP]
答：
（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小为

BLv0

R+r

，方向为b→a；
（2）此时导体棒的加速度大小a为gsinθ-

B2L2v

m(R+r)

；
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为

R

R+r

[

1

2

m

v

20

+

(mgsinθ)2

k

-E_P]．