如图所示，水平放置的足够长的平行金属导轨MN、PQ的一端接有电阻R0，不计电阻的导体棒ab静置在导轨的左端MP处，并与MN垂直．以导轨PQ的左端为坐标原点O，建

题型：不详难度：来源：

如图所示，水平放置的足够长的平行金属导轨MN、PQ的一端接有电阻R₀，不计电阻的导体棒ab静置在导轨的左端MP处，并与MN垂直．以导轨PQ的左端为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，Ox轴沿PQ方向．每根导轨单位长度的电阻为r．垂直于导轨平面的非匀强磁场磁感应强度在y轴方向不变，在x轴方向上的变化规律为：B=B₀+kx，并且x≥0．现在导体棒中点施加一垂直于棒的水平拉力F，使导体棒由静止开始向右做匀加速直线运动，加速度大小为a．设导体棒的质量为m，两导轨间距为L．不计导体棒与导轨间的摩擦，导体棒与导轨接触良好，不计其余部分的电阻．
（1）请通过分析推导出水平拉力F的大小随横坐标x变化的关系式；
（2）如果已知导体棒从x=0运动到x=x₀的过程中，力F做的功为W，求此过程回路中产生的焦耳热Q；
（3）若B₀=0.1T，k=0.2T/m，R₀=0.1Ω，r=0.1Ω/m，L=0.5m，a=4m/s²，求导体棒从x=0运动到x=1m的过程中，通过电阻R₀的电荷量q．

答案

（1）设导体棒运动到坐标为x处的速度为v，由法拉第电磁感应定律得产生的感应电动势为：
E=BLv…①
由闭合电路欧姆定律得回路中的电流为：
I=

BLv

R0+2rx

…②
由于棒做匀加速直线运动，所以有：
v=

2ax

…③
此时棒受到的安培力：
F_A=IBL…④
由牛顿第二定律得：
F-F_A=ma…⑤
由①②③④⑤联立解得：F=ma+

(B0+kx)2L2 2ax

R0+2rx

（2）设导体棒在x=x₀处的动能为E_k，则由动能定理得：
E_k=max₀…⑥
由能量守恒与转化定律得：W=Q+E_k…⑦
将⑥式代入⑦式解得：Q=W-max₀
（3）由①②两式得：I=

(B0+kx)Lv

R0+2rx

…⑧
因为v=at，将题中所给的数值代入⑧式得：I=2t（A）… ⑨
可知回路中的电流与时间成正比，所以在0-t时间内，通过R₀的电荷量为：
q=

I

2

t=t²（C）
由匀加速直线运动规律得：t=

2x a

，
当x=x₀时，有：q=

2x0

a

（C）=0.5C
答：（1）水平拉力F的大小随横坐标x变化的关系式为F=ma+

(B0+kx)2L2 2ax

R0+2rx

；
（2）此过程回路中产生的焦耳热Q为W-max₀；
（3）导体棒从x=0运动到x=1m的过程中，通过电阻R₀的电荷量q为0.5C．