如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行。一正方形金属框abc

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如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行。一正方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界。现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示。已知金属框电阻为R，质量为m，重力加速度为g，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求：
（1）斜面倾角的正弦值和磁场区域的宽度；
（2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度；
（3）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热。

答案

解：（1）由图乙可知，在0～t₁时间内金属框运动的加速度

设斜面的倾角为θ，由牛顿第二定律有

解得

在t₁～2t₁时间内金属框匀速进入磁场，则

在2t₁～3t₁时间内金属框运动位移

则磁场的宽度

（2）在t₂时刻金属框cd边到达EF边界时的速度为v₂，设此时加速度大小为a₂，cd边切割磁场产生的电动势

受到的安培力

由牛顿第二定律

金属框进入磁场时

解得

，加速度方向沿斜面向上
（3）金属框从t₁时刻进入磁场到t2时刻离开磁场的过程中，由功能关系得

解得

举一反三

如图甲所示，两根质量均为m=0.1kg完全相同的导体棒a、b，用绝缘轻杆相连置于由金属导轨PQ、MN架设的斜面上。已知斜面倾角θ=53⁰，a、b导体棒的间距是PQ和MN导轨间距的一半，导轨间分界线OO"以下有方向垂直斜面向上的匀强磁场。当a、b导体棒沿导轨下滑时，其速度v与时间t的关系如图乙所示。若a、b导体棒接入电路的电阻均为R=1Ω，其它电阻不计。（取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）依据v-t图像，求b导体棒匀速运动阶段的位移大小；
（2）求a、b导体棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（3）求匀强磁场的磁感应强度B大小。

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如图甲所示，光滑绝缘的水平面上一矩形金属线圈abcd的质量为m、电阻为R、面积为S，ad边长度为L，其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，ab边长度与有界磁场区域宽度相等，在t=0时刻线圈以初速度v₀进入磁场，在t=T时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为v₁，此时对线圈施加一沿运动方向的变力F，使线圈在t=2T时刻线圈全部离开该磁场区，若上述过程中线圈的v-t图象如图乙所示，整个图象关于t=T轴对称。则下列各项正确的是

[ ]
A．0-T时间内，线圈内产生的焦耳热是

B．从T-2T过程中，外力做的功为

C．线圈进入磁场过程中

D．T时刻，当线圈的ad边刚进入磁场时，ad边受到的安培力为

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在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，如图所示。一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框在t＝0时刻以速度v₀进入磁场，恰好做匀速直线运动。若经过时间t₀，线框ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是

[ ]
A．当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小为2gsinθ
B．t₀时刻线框匀速运动的速度为

C．t₀时间内线框中产生的热量为

D．离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动

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如图所示，光滑斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁=1m，bc边的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框受到沿光滑斜面向上的恒力F的作用，已知F=10N。斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的均匀磁场，磁感应强度B随时间t的变化情况如B-t图象，时间t是从线框由静止开始运动时刻起计的。如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s=5.1m，求：
（1）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（2）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；
（3）线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。

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如图所示，电阻不计的光滑平行金属导轨MN和OP水平放置，MO间接有阻值为R的电阻，两导轨相距为L，其间有竖直向下的匀强磁场。质量为m，长度为L，电阻为R₀的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好。用平行于MN向右的水平力拉动CD从静止开始运动，拉力的功率恒为P，经过时间t导体棒CD达到最大速度v₀。
（1）求出磁场磁感应强度B的大小；
（2）求出该过程中电阻R上所产生的热量。

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