任意椭圆或双曲线的方程

题目

任意椭圆或双曲线的方程
不标准方程，不是你求那个

答案

椭圆长半轴a短半轴b,中心坐标（x0,y0)
只要把椭圆x²/a²+y²/b²=0先以原点为中心逆时针旋转θ,再按照向量a=(x0,y0)平移就好了.
平移：方程f(x,y)=0的图像按向量a=(h,k)平移后方程为f(x-h,y-k)=0
这根很简单的吧,高中课本里有.
旋转：这里指的是以原点为中心,逆时针旋转θ的旋转.
这个公式有些复杂,推导一下
我们设原图像f(x,y)=0,旋转后f(x',y')=0
现在要把f(x,y)=0上每一点(x,y)的x、y用x',y'表示,然后在代回f(x,y)=0,得到的就是旋转后的方程.
令r=√(x'²+y'²),cosα=x'/√(x'²+y'²),sinα=y'/√(x'²+y'²),
则x'=r*cosα,y'=r*sinα[这一个极坐标的思想]
这样f(x',y')=0上每一点就用 这点与原点的距离r 还有 这个“距离向量”与X轴的夹角α表示出来了
现在f(x',y')=0上一点(x',y')是由f(x,y)=0上一点(x,y)经逆时针旋转θ得到的
则
x=r*cos(α-θ)
y=r*sin(α-θ)
再结合cosα=x'/√(x²+y²),sinα=y'/√(x²+y²)
得
x=x'cosθ+y'sinθ
y=y'cosθ-x'sinθ
这样f(x,y)=0绕原点旋转θ的图像就变成了f(x'cosθ+y'sinθ,y'cosθ-x'sinθ)=0
现在我们来处理椭圆x²/a²+y²/b²=0
先旋转(xcosθ+ysinθ)²/a² + (ycosθ-xsinθ)²/b²=0
再平移按照向量a=(x0,y0)
得最终的椭圆方程为
[(x-x0)cosθ+(y-y0)sinθ]²/a² + [(y-y0)cosθ-(x-x0)sinθ]²/b²=0