求f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值?

题目

求f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值?

答案

求高阶导数是泰勒公式,或者幂级数的一个主要应用.
主要是利用表达式的唯一性.
一方面,由定义,f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中,x^n的系数是：f（n）（0） / n!,f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数.
另一方面,f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n）,所以,f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）
比较两个表达式中x^n的系数,得：
当n为偶数时,f（x）在x＝0处的n阶导数是0；
当n为奇数时,设n＝2m＋1,f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）!