复变函数(积分 从 0 到 pi ((1/((a+cosx)^2))dx)),a>1

题目

复变函数(积分 从 0 到 pi ((1/((a+cosx)^2))dx)),a>1

答案

令z=e^(ix),则cosx=（z+1/z）/2,dx=dz/iz
再根据cosx是偶函数,所以将积分范围改成-π到π积分值变为原来2倍,同时z绕单位圆一周,于是：

设z²+2az+1=（z-α）（z-β）
则α、β是z²+2az+1=0的两个根
α=-a+√（a²-1） |α|<1
β=-a-√（a²-1）    |β|>1,
所以|z|<1,内被积函数只有α一个二阶极点