已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115． （1）求k的值； （2）求x12+x22+8的值．

题目

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

答案

（1）∵x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的两个根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=k，
∵x₁²x₂²-x₁-x₂=115，
∴k²-6=115，
解得k₁=11，k₂=-11，
当k₁=11时，△=36-4k=36-44＜0，
∴k₁=11不合题意
当k₂=-11时，△=36-4k=36+44＞0，
∴k₂=-11符合题意，
∴k的值为-11；
（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-11
∴x₁²+x₂²+8=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+8=36+2×11+8=66．