求渐近线方程为3x±4y=0.焦点为椭圆x²/10+y²/5=1的一对顶点的双曲线的标准方程.
题目
求渐近线方程为3x±4y=0.焦点为椭圆x²/10+y²/5=1的一对顶点的双曲线的标准方程.
答案
双曲线渐近线方程为 y=±3/4*x ,
椭圆的顶点为 A1(-√10,0),A2(√10,0),B1(0,-√5),B2(0,√5).
(1)如果 A1、A2 为双曲线的焦点,则 c=√10,c^2=a^2+b^2=10 ,
又 b/a=3/4 ,因此解得 a^2=32/5,b^2=18/5 ,
因此双曲线方程为 x^2/(32/5)-y^2/(18/5)=1 .
(2)如果 B1、B2 为双曲线的焦点,则 c=√5 ,c^2=a^2+b^2=5 ,
又 a/b=3/4 ,因此解得 a^2=9/5,b^2=16/5 ,
因此双曲线方程为 y^2/(9/5)-x^2/(16/5)=1 .
综上可得,所求双曲线方程为 x^2/(32/5)-y^2/(18/5)=1 或 y^2/(9/5)-x^2/(16/5)=1 .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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