已知函数f（x）=1／（1—x）的n次方＋aln（x—1）,其中n∈N,a为常数

题目

已知函数f（x）=1／（1—x）的n次方＋aln（x—1）,其中n∈N,a为常数
（1）当n=2时,求函数f（x）的极值
（2）当a=1时,证明 对任意的正整数n,当x≥2时,有f（x）≤x--1

答案

定义域为{x|x>1}
(1)n=2时,f（x）=(1/(1—x))^2＋aln(x—1)
f'(x)=2/((1-x)^3)+a/(x-1)=(2-a(1-x)^2)/(1-x)^3
①a>0时,由f‘(x)=0得x1=1+根号(2/a)>1 x2=1-根号(2/a)0
所以x≥2时,恒有h(x)>0,即In(x-1))≤x-1
综上所述,结论成立