f(x)为定义在(-a,a)的函数.证明:f(x)一定可表示为一个奇函数和一个偶函数之和.
题目
f(x)为定义在(-a,a)的函数.证明:f(x)一定可表示为一个奇函数和一个偶函数之和.
答案
令f(x)=g(x)+h(x)
假设g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
下面证明这两个函数一定存在
f(x)=g(x)+h(x) (1)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) (2)
(1)+(2)
2h(x)=f(x)+f(-x)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
因为定义域关于原点对称
则只要x在定义域内,则-x也在定义域内
所以f(x)和f(-x)都有意义
所以g(x)和h(x)一定存在
所以f(x)可表示为一个奇函数和一个偶函数的和
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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