已知数列{xn}满足x1=4,xn=4-4/Xn-1(n≥2),记yn=1/xn-2

题目

已知数列{xn}满足x1=4,xn=4-4/Xn-1(n≥2),记yn=1/xn-2
（1）求证：数列{yn}是等差数列
（2）计算y1+y1500+y2009的值

答案

x(n)=4-4/x(n-1) n≥2
x(n)-2=2-4/x(n-1)
=[2x(n-1)-4]/x(n-1)
1/(x[n]-2)=x[n-1]/(2x[n-1]-4)
=1/2+1/x[n-1]-2
所以 数列yn是以1/(x[1]-2)=1/2为首项,1/2为公比的等差数列.
1/(x[n]-2)=1/2+(n-1)×1/2=n/2
所以 y[n]=n/2
∴y[1]+y[1500]+y[2009]=1/2+1500/2+2009/2=1755