设f（x）在R上有定义,在x=0点连续,且f（x/a）=f（x）,其中a为小于1的常数,证明f（x）为常数函数.

题目

设f（x）在R上有定义,在x=0点连续,且f（x/a）=f（x）,其中a为小于1的常数,证明f（x）为常数函数.

答案

由f(x/a) = f(x) 可得：
f(x/a) = f (x) = f(ax) = f(a^2 *x) = f(a^3 * x) = . = f(a^n * x)
因为a为小于1的常数,所以a^n 在 n->∞ 时 为0
即f(x) = f(a^n *x) = f(0)
又f(x) 在x = 0 点连续,所以f(x)在 x = 0 有定义,即为f(0), 它是一个常数
所以f(x) 为 常数函数 得证