若函数f(x)=2x^3-6x+k在R上只有一个零点,则常数k的取值范围是______

题目

若函数f(x)=2x^3-6x+k在R上只有一个零点,则常数k的取值范围是______

答案

f'(x)= 6x^2 - 6＝0,得到x=1或者-1
所以f(x)在1,-1处取得极值
画图可以看出,如果它只有一个零点,则f(-1)<0或者f(1)>0
f(-1) = -2 +6 +k <0 ==> k<-4
f(1) = 2-6+k >0 ==> k > 4
所以k的范围是-44