已知{an}的前n项和为Sn,a1=1.且3an-1+2Sn=3求a1,a2的值,并求数列{an}的通项公式.

题目

已知{an}的前n项和为Sn,a1=1.且3an-1+2Sn=3求a1,a2的值,并求数列{an}的通项公式.

答案

3a1+2S2=3a1+2(a2+a1)=3×1+2（a2+1)=3,a2=-1
由3an-1+2Sn=3得Sn=3/2-（3/2）a (n-1)
an=sn-s(n-1)=3/2-（3/2）a (n-1)-[3/2-（3/2）a (n-2)]=(3/2)×[a(n-2)-a(n-1)]
2an=3a(n-2)-3a(n-1),2an-6a(n-1)=3a(n-2)-9a(n-1) ,an-3a(n-1)=(-3/2)[a(n-1)-3a(n-2)]
数列{an-3a(n-1)}为等比数列,公比=-3/2,首项=a2-3a1=-1-3×1=-4,项数为n-2,
∴an-3a(n-1)=-4×（-3/2）^( n-2-1)= 4×（3/2）^( n-3),
数列{an-3a(n-1)}的和=-4×[1-(-3/2) ^(n-2)]/[1-(-3/2)]=2/5+2/5×（3/2）^( n-2)
又数列{an-3a(n-1)}的和=an-3a(n-1)+a（n-1）-3a(n-2)+a（n-2）-3a(n-3)+……+a2-3a1
=an-a1-2[a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)+……+a2+a1]
=an-a1-2s(n-1)
=3an-a1-2sn=3an+3a(n-1)-a1-[3a(n-1)+2sn]=3an+3a(n-1)-1-3
=3[an+a(n-1)]-4
∴3[an+a(n-1)]-4=2/5+2/5×（3/2）^( n-2),
an+a(n-1)-22/15=(2/15)×（3/2）^( n-2)=1/5+(1/5)×（3/2）^( n-3)
an+a(n-1)-1/5=(1/5)×（3/2）^( n-3)
数列{an+a(n-1)-1/5}为等比数列,公比=3/2,首项=a2+a1-1/5=-1+1-1/5=-1/5,项数为n-2,
[an+a(n-1)-1/5]-[a(n-1)+a(n-2)-1/5]+[a(n-2)+a(n-3)-1/5]-[a(n-3)+a(n-4)-1/5]+……+[a3+a2-1/5]
-[a2+a1-1/5]=an-a1=an-1
=[an+a(n-1)-1/5]+[a(n-2)+a(n-3)-1/5]+……+[a3+a2-1/5] -[a(n-1)+a(n-2)-1/5]-……-[a2+a1-1/5]
=[an+a(n-1)-1/5]+[a(n-2)+a(n-3)-1/5]+……+[a3+a2-1/5]-[a(n-1)+a(n-2)-1/5]-……-[a2+a1-1/5]
=(1/5)×（3/2）^( n-3)+(1/5)×（3/2）^( n-5)+(1/5)×（3/2）^( n-7)+……+(1/5)×（3/2）^2+(1/5)×（3/2）^0
-(1/5)×（3/2）^( n-4)-(1/5)×（3/2）^( n-6)-(1/5)×（3/2）^( n-8)-……-(1/5)×（3/2）^3-(1/5)×（3/2）^1
-(1/5)×（3/2）^(-1)
上式中各加数和减数均为等比数列,公比=（3/2）^2=9/4,首项分别为(1/5)×（3/2）^0=1/5,
(1/5)×（3/2）^(-1)=（1/5）×（3/2）项数为（n-2）/2
因此,上式=an-1={(1/5)×[1-(9/4)^(n-2)/2]/[1-(3/2)]-{(1/5)×(3/2)[1-(9/4)^(n-2)/2]/[1-(3/2)]
=(1/5)[(9/4)^(n-2)/2-1]=(1/5)[(3/2)^(n-2)-1]=(1/5)(3/2)^(n-2)-1/5
所以,an=(1/5)(3/2)^(n-2)-1/5+a1=(1/5)(3/2)^(n-2)+4/5
an=sn-s(n-1)=(3/2)×[a(n-2)-a(n-1)]