设x,y为正数,且x+y=1,用反证法证明:(1/x2-1)(1/y2-1)≥9.
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设x,y为正数,且x+y=1,用反证法证明:(1/x2-1)(1/y2-1)≥9.
题目
设x,y为正数,且x+y=1,用反证法证明:(
1
x
答案
证明:假设
(
1
x
2
−1)(
1
y
2
−1)<9
,由于x,y>0,且x+y=1,所以
(
1
x
2
−1)(
1
y
2
−1)=
(1+x)(1−x)
x
2
×
(1+y)(1−y)
y
2
=
(1+x)y
x
2
×
(1+y)x
y
2
=
1+x
x
×
1+y
y
=
1+x
x
×
2−x
1−x
<9
,
由此得(2x-1)
2
<0,这是不可能的.
故原不等式成立.
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