在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n; (1)设bn=an2n−1.证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.
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在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n; (1)设bn=an2n−1.证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.
题目
在数列{a
n
}中,a
1
=1,
a
答案
(1)∵
a
n+1
=2
a
n
+
2
n
,∴
a
n+1
2
n
=
a
n
2
n−1
+1
.
∵
b
n
=
a
n
2
n−1
,∴b
n+1
=b
n
+1,
∴数列{b
n
}是以
b
1
=
a
1
2
0
=1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)可知:b
n
=1+(n-1)×1=n.
∴
n=
a
n
2
n−1
,∴
a
n
=n•
2
n−1
.
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