已知:定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数. (1)若a=1,求:f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程; (2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求:实数a的值; (3)若
题目
已知:定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若a=1,求:f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程;
(2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求:实数a的值;
(3)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求:实数a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,f(x)=x
3-3x
2,则f′(x)=3x
2-6x=3x(x-2),
则k=f′(1)=-3,
∴切线方程为:y+2=-3(x-1),即3x+y-1=0;
(2)f(x)=ax
3-3x
2,得到f′(x)=3ax
2-6x=3x(ax-2),
∵x=1是f(x)的一个极值点,
∴f′(1)=0即3(a-2)=0,∴a=2;
(3)①当a=0时,f(x)=-3x
2在区间(-1,0)上是增函数,则a=0符合题意;
②当a≠0时,f′(x)=3ax(x-
),令f′(x)=0,则x
1=0,x
2=
,
当a>0时,对任意x∈(-1,0),f′(x)>0,则a>0符合题意;
当a<0时,当x∈(
,0)时,f′(x)>0,则
≤-1,∴-2≤a<0符合题意,
综上所述,a≥-2满足要求.
举一反三
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