关于y=f(x)的二阶反函数导数

题目

关于y=f(x)的二阶反函数导数
设函数y=f(x)的反函数为x=φ(y)
则在反函数可导的条件下,我们有
φ'(y)=1/f'(x)
φ"(y)=[1/f'(x)]'
=-1·[f'(x)]ˉ²
=-1/[f'(x)]²
这个对么?

答案

不对,要对f'(x)再求一次导,因为变量是y,所以再要对x求一次导
φ'(y)=1/f'(x)
φ"(y)=-f"(φ(y))(φ'(y))/[f'(x)]²
=-f"(φ(y))/[f'(φ(y))]3
=-f"(x)/[f'(x)]3