已知i为虚数单位,复数z满足i^1!+i^2!+i^3!+...+i^100!+z(1-i)=94,则复数z^2014=?

题目

已知i为虚数单位,复数z满足i^1!+i^2!+i^3!+...+i^100!+z(1-i)=94,则复数z^2014=?
求高人指点.

答案

1）分析：左边是一个关于虚数的式子累加,然后加上一个复式,等于右边的一个实数(94).
如果要解这种题,首先看左边的累加式子能不能算出一个数值,如果能够算出来,通过式子变换,单独求出Z来,Z^2014要么是一个循环的式子,就像sinx不停的求导,最后会循环出一个数值来,把2014对应上号就行了；要么是有规律的递加或递乘的式子,最后算出来的结果包含历年的年份比如说包含2014或者2014的一半或者简单变换后的数.
如果左边不能单独算出来一个数值,先等式变化,将Z放到等式左边,然后右边直接从Z^1,到Z^2--往下试一下,一般试到四个或者五个,规律就会很明显了.
2）i^1!=i,i^2!=i^（2*1）=-1,i^3!=i^（3*2）=（i^2）^3=(-1)^3=-1,i^4!=i^（4*3*2）=（i^2）^(3*4)=(-1)^(3*4)=-1^12=1,i^ 5!=i^（5*4*3*2）=（i^2）^(3*4*5)=(-1)^(3*4*5）=1……i^100!=1.(平方项中只要有2,将2提到最后一次平方,可以知道结果一定是个正数)
设S=i^1!+i^2!+i^3!+...+i^100!=i-1-1+(100-4+1)=95+i
代入原式,95+i+z(1-i)=94,得出Z=-（1+i）/（1-i）
Z^2014=[(-1)^2014][(1+i)^2014]/[(1-i)^2014]=[(1+i)^2014]/[(1-i)^2014]
=[(2i)^1007]/[(-2i)^1007]=-1
Ps:很久没接触复数和虚数,计算可能会有些不足,但是过程大体就是这样的.一般这种题不会难,就是看你有没有接触过这类型的题,想要考试做出这种题或者提高得分率,多练吧,不一定要自己一步一步的仔细计算,初步的是要把思路练出了.