在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列． （1）求c的值； （2）设bn＝1/anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

题目

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）设b

答案

（1）∵a_n+1=a_n+c
∴a_n+1-a_n=c
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以c为公差的等差数列
a₂=1+c，a₅=1+4c
又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列
∴（1+c）²=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，a_n=2n-1
∴bn＝

1

(2n−1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)
∴Sn＝

1

2

[(1− 

1

3

)+(

1

3

 −

1

5

)+…+(

1

2n−1

−

1

2n+1)]

=

1

2

(1−

1

2n+1

)＝

n

2n+1