已知函数f(x)=bx+1/2x+a,a、b为常数,且ab≠2,若对一切x恒有f(x)f(1/x)=k(k为常数)则k=_.

已知函数f(x)=bx+1/2x+a,a、b为常数,且ab≠2,若对一切x恒有f(x)f(1/x)=k(k为常数)则k=_.

题目
已知函数f(x)=
bx+1
2x+a
,a、b为常数,且ab≠2,若对一切x恒有f(x)f(
1
x
)=k(k为常数)则k=______.
答案
∵f(x)=
bx+1
2x+a
,∴f(
1
x
)=
b
1
x
+1
2
1
x
+a
=
b+x
2+ax

则f(x)f(
1
x
)=
bx+1
2x+a
b+x
2+ax

则f(x)f(
1
x
)-k=
(bx+1)(b+x)−k(2x+a)(2+ax)
(2x+a)(2+ax)

=
(b−2ak)x2+(b2+1−4k−ka2)x+b−2ak
(2x+a)(2+ax)
=0恒成立.
b−2ak=0
b2+1−4k−a2k=0
消去b可得
4a2k2-(4+a2)k+1=0,
解得,k=
1
4
,k=
1
a2

若k=
1
a2
,则b=2ak=
2
a
,则ab=2,
与ab≠2相矛盾,舍去.
则k=
1
4

故答案为
1
4
由f(x)求出f(
1
x
),再由f(x)f(
1
x
)=k化简求出k值,而后验证.

函数恒成立问题.

本题考查了函数与恒成立问题,化简很容易出错,要细致.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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