已知函数f(x)=bx+1/2x+a,a、b为常数,且ab≠2,若对一切x恒有f(x)f(1/x)=k(k为常数)则k=_.
题目
已知函数f(x)=
,a、b为常数,且ab≠2,若对一切x恒有f(x)f(
)=k(k为常数)则k=______.
答案
∵f(x)=
,∴f(
)=
=
,
则f(x)f(
)=
•
则f(x)f(
)-k=
(bx+1)(b+x)−k(2x+a)(2+ax) |
(2x+a)(2+ax) |
=
(b−2ak)x2+(b2+1−4k−ka2)x+b−2ak |
(2x+a)(2+ax) |
=0恒成立.
则
消去b可得
4a
2k
2-(4+a
2)k+1=0,
解得,k=
,k=
.
若k=
,则b=2ak=
,则ab=2,
与ab≠2相矛盾,舍去.
则k=
.
故答案为
.
由f(x)求出f(
),再由f(x)f(
)=k化简求出k值,而后验证.
函数恒成立问题.
本题考查了函数与恒成立问题,化简很容易出错,要细致.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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