若椭圆(x²/m)+y²=1(m>1)与双曲线（x²/n）-y²=1（n>0）有相同的焦点F1、F2

题目

若椭圆(x²/m)+y²=1(m>1)与双曲线（x²/n）-y²=1（n>0）有相同的焦点F1、F2
P是两曲线的一个交点,则向量PF1*向量PF2的值是多少

答案

椭圆(x²/m)+y²=1(m>1):
a² = m,b = 1,c = √(a² - b²) = √(m - 1),焦点F1(-√(m - 1),0),F2(√(m - 1),0)
双曲线（x²/n）-y²=1（n>0):
a² = n,b = 1,c = √(a² + b²) = √(n + 1)
二者有相同的焦点,√(m - 1) = √(n + 1)
m = n + 2 (1)
二者相加,x² = n(n + 2)/(n+1)
y² = 1/(n + 1)
PF1 = (-√(n + 1) - x,y),PF2 = (√(n + 1) - x,y)
向量PF1*向量PF2 = (-x)² - (n+1) + y²
= n(n + 2)/(n+1) - (n+1) + 1/(n+1)
= 0