设函数f（x）的导数为f′（x），且f(x)=f′(π2)sinx+cosx，则f′(π4)= _ ．

题目

设函数f（x）的导数为f′（x），且f(x)=f′(

π

2

)sinx+cosx，则f′(

π

4

)= ___ ．

答案

由f(x)=f′(

π

2

)sinx+cosx，得f′（x）=f′（

π

2

）cosx-sinx，
则f′（

π

2

）=f′（

π

2

）•cos

π

2

-sin

π

2

，解得f′（

π

2

）=-1，
∴f′(

π

4

)=-cosx-sinx=-cos

π

4

-sin

π

4

=-

2

2

-

2

2

=-

2

，
故答案为：-

2

．

对f(x)＝f′(

π

2

)sinx+cosx两边求导，令x=

π

2

可得f′（

π

2

），再令x=

π

4

即可求得f′（

π

4

）．

本题考点：导数的运算．

考点点评：本题考查导数的运算、三角函数值，考查学生对问题的分析解决能力．