已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0(a>0)①. (1)若方程①有一个正实根c,且2ac+b<0.求b的取值范围; (2)当a=1时,方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同
题目
已知关于x的一元二次方程ax
2+2bx+c=0(a>0)①.
(1)若方程①有一个正实根c,且2ac+b<0.求b的取值范围;
(2)当a=1时,方程①与关于x的方程4x
2+4bx+c=0②有一个相同的非零实根,求
8b
答案
(1)∵c为方程的一个正实根(c>0), ∴ac 2+2bc+c=0. ∵c>0, ∴ac+2b+1=0,即ac=-2b-1. ∵2ac+b<0, ∴2(-2b-1)+b<0. 解得 b>−. 又∵ac>0(由a>0,c>0). ∴-2b-1>0. 解得 b<−. ∴ −<b<−; (2)当a=1时,此时方程①为x 2+2bx+c=0. 设方程①与方程②的相同实根为m, ∴m 2+2bm+c=0③ ∴4m 2+4bm+c=0④ ④-③得3m 2+2bm=0. 整理,得m(3m+2b)=0. ∵m≠0, ∴3m+2b=0. 解得 m=−. 把 m=−代入方程③得 (−b)2+2b(−b)+c=0. ∴ −+c=0,即8b 2=9c. 当8b 2=9c时, =. 故答案为: −<b<−, .
举一反三
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