已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3

题目

已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3
求证：x^4+y^4+z^4=25/6

答案

因为x+y+z=1
所以 (x+y+z)²=1
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1
因为x²+y²+z²=2
所以 xy+xz+yz=-1/2
所以 (xy+xz+yz)²=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2x²yz+2xy²z+2xyz²=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2xyz(x+y+z)=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2xyz=1/4……①
又 x³+y³+z³-3xyz
=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)
=1×[2-(-1/2)]
=5/2
把x³+y³+z³=3代入
3-3xyz=5/2
3xyz=1/2
xyz=1/6
把xyz=1/6代入①得
x²y²+x²z²+y²z²+1/3=1/4
x²y²+x²z²+y²z²=-1/12
因为 x²+y²+z²=2
所以 (x²+y²+z²)²=4
x^4+y^4+z^4+2x²y²+2x²z²+2y²z²=4
所以 x^4+y^4+z^4=4-2×(-1/12)=25/6